Contoh Soal Baris dan Deret: Panduan Lengkap Barisan Aritmatika dan Cara Penyelesaiannya

Dalam dunia matematika, contoh soal baris dan deret adalah konsep yang tidak bisa dipisahkan dari kehidupan sehari-hari. Mulai dari menghitung tabungan, mengukur kenaikan gaji setiap tahun, hingga memperkirakan pertumbuhan populasi, semuanya melibatkan pola dan urutan angka yang teratur.

Bagi pelajar SMA dan mahasiswa, memahami baris dan deret sangat penting karena menjadi bagian dari materi ujian nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi. Namun, di balik deretan angka itu, ada logika menarik tentang bagaimana suatu pola terbentuk dan berkembang.

“Matematika bukan sekadar menghitung, tapi memahami keteraturan yang tersembunyi di balik angka-angka.”

Pengertian Baris dan Deret

Sebelum masuk ke contoh soal, penting untuk memahami apa itu baris dan deret.

Baris (Sequence)

Baris adalah susunan bilangan yang memiliki pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan disebut suku dan biasanya dinyatakan dengan simbol U₁, U₂, U₃, …, Uₙ, di mana n menunjukkan posisi suku ke-n.

Contoh:

2, 4, 6, 8, 10, …

Barisan di atas memiliki pola kenaikan tetap, yaitu setiap suku bertambah 2 dari suku sebelumnya.

Deret (Series)

Deret adalah penjumlahan dari suku-suku dalam suatu barisan. Jadi, jika barisnya adalah 2, 4, 6, 8, maka deretnya adalah:

2 + 4 + 6 + 8 + …

Dengan kata lain, deret merupakan bentuk penggabungan dari barisan bilangan.

Macam-Macam Barisan dan Deret

Dalam matematika, barisan dan deret terbagi menjadi dua jenis utama yang sering dipelajari di sekolah, yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri.

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih antar dua suku berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut beda (d).

Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)d

Keterangan:

a = suku pertama
d = beda antar suku
n = urutan suku ke-n
Un = suku ke-n

Contoh:

3, 6, 9, 12, 15, …
Di sini, a = 3 dan d = 3 karena setiap suku bertambah 3.

2. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap. Nilai perbandingan ini disebut rasio (r).

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah:

Un = a × rⁿ⁻¹

Keterangan:

a = suku pertama
r = rasio antar suku
n = suku ke-n

Contoh:

2, 4, 8, 16, 32, …
Di sini, a = 2 dan r = 2 karena setiap suku dikali 2 dari suku sebelumnya.

“Membedakan barisan aritmatika dan geometri itu seperti membedakan langkah dan lompatan; aritmatika berjalan dengan jarak tetap, geometri melompat dengan rasio yang sama.”

Rumus Deret Aritmatika dan Geometri

Untuk menghitung jumlah suku-suku (deret), kita perlu memahami rumus dasarnya.

1. Deret Aritmatika

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) barisan aritmatika adalah:

Sn = n/2 × (2a + (n – 1)d)
atau bisa juga ditulis:
Sn = n/2 × (a + Un)

Keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
Un = suku terakhir
d = beda antar suku

Contoh:
Diketahui barisan 2, 4, 6, 8, 10.
Maka, jumlah lima suku pertama adalah:
Sn = 5/2 × (2 + 10) = 5/2 × 12 = 30

2. Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) barisan geometri adalah:

Sn = a × (rⁿ – 1) / (r – 1), untuk r ≠ 1

Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 12, 24, 48.
Maka jumlah 5 suku pertama:
Sn = 3 × (2⁵ – 1) / (2 – 1) = 3 × (32 – 1) = 3 × 31 = 93

Contoh Soal UN Barisan dan Deret Aritmatika dan Penyelesaiannya

Berikut beberapa contoh soal ujian nasional (UN) mengenai barisan dan deret aritmatika lengkap dengan langkah-langkah penyelesaiannya agar lebih mudah dipahami.

Contoh Soal 1: Mencari Suku ke-n Barisan Aritmatika

Soal:
Diketahui barisan aritmatika 5, 9, 13, 17, ….
Tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut!

Penyelesaian:
a = 5
d = 9 – 5 = 4
n = 15

Gunakan rumus:
Un = a + (n – 1)d
Un = 5 + (15 – 1) × 4
Un = 5 + 14 × 4
Un = 5 + 56 = 61

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2: Menentukan Jumlah n Suku Pertama (Deret Aritmatika)

Soal:
Tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan 3, 6, 9, 12, …

Penyelesaian:
a = 3
d = 6 – 3 = 3
n = 20

Gunakan rumus Sn = n/2 × (2a + (n – 1)d)
Sn = 20/2 × (2(3) + (20 – 1)3)
Sn = 10 × (6 + 57)
Sn = 10 × 63 = 630

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 630.

Contoh Soal 3: Menentukan Banyaknya Suku

Soal:
Dalam barisan 4, 7, 10, 13, … terdapat berapa suku sampai nilai 100?

Penyelesaian:
a = 4
d = 3
Un = 100

Gunakan rumus Un = a + (n – 1)d
100 = 4 + (n – 1) × 3
96 = 3(n – 1)
96 = 3n – 3
3n = 99
n = 33

Jadi, terdapat 33 suku hingga mencapai nilai 100.

Contoh Soal 4: Menentukan Jumlah Deret Geometri

Soal:
Hitung jumlah 5 suku pertama dari barisan 2, 6, 18, 54, …

Penyelesaian:
a = 2
r = 3
n = 5

Gunakan rumus Sn = a × (rⁿ – 1) / (r – 1)
Sn = 2 × (3⁵ – 1) / (3 – 1)
Sn = 2 × (243 – 1) / 2
Sn = 2 × 242 / 2 = 242

Jadi, jumlah lima suku pertama adalah 242.

Contoh Soal 5: Campuran Barisan Aritmatika dan Deret

Soal:
Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama 10 dan beda 5.
Hitung jumlah seluruh suku sampai suku ke-10.

Penyelesaian:
a = 10
d = 5
n = 10

Gunakan rumus Sn = n/2 × (2a + (n – 1)d)
Sn = 10/2 × (2(10) + (10 – 1)5)
Sn = 5 × (20 + 45)
Sn = 5 × 65 = 325

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut adalah 325.

“Kunci memahami baris dan deret bukan pada menghafal rumus, tapi memahami pola di balik setiap angka.”

Soal-Soal Tambahan untuk Latihan

Untuk memperkuat pemahaman, berikut beberapa soal latihan yang sering muncul dalam ujian nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi.

Tentukan suku ke-12 dari barisan 7, 11, 15, 19, …
Dalam barisan 2, 6, 10, 14, … berapa jumlah 25 suku pertamanya?
Sebuah deret geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tentukan jumlah 8 suku pertamanya.
Diketahui deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + … + 46. Tentukan jumlah seluruh suku deret tersebut.
Jika Un = 5n – 2, tentukan tiga suku pertama dari barisan tersebut.

Latihan semacam ini sangat efektif untuk mengasah logika dan kecepatan berpikir siswa, karena di setiap soal terdapat pola tersembunyi yang menuntut pemahaman konsep, bukan sekadar hitungan cepat.

Contoh Soal Cerita Barisan dan Deret dalam Kehidupan Nyata

Soal:
Seorang penabung menyimpan uang Rp100.000 pada bulan pertama. Setiap bulan berikutnya ia menambah tabungan sebesar Rp50.000. Berapa total uang tabungannya setelah 12 bulan?

Penyelesaian:
a = 100.000
d = 50.000
n = 12

Gunakan rumus Sn = n/2 × (2a + (n – 1)d)
Sn = 12/2 × (2(100.000) + (12 – 1)(50.000))
Sn = 6 × (200.000 + 550.000)
Sn = 6 × 750.000 = Rp4.500.000

Jadi, total uang yang ditabung selama 12 bulan adalah Rp4.500.000.

“Matematika tidak hanya soal angka di kertas, tapi cara berpikir teratur untuk menghadapi masalah di dunia nyata.”

Tips Mudah Menguasai Barisan dan Deret

Pahami pola, jangan langsung hafal rumus.
Pola adalah inti dari barisan. Setelah memahami pola, rumus akan terasa alami.
Tulis langkah penyelesaian secara teratur.
Kesalahan sering muncul karena terburu-buru. Tulis data (a, d, r, n) dengan jelas.
Gunakan logika dalam cerita.
Saat menemukan soal cerita, pahami konteksnya agar bisa menerjemahkan ke dalam bentuk matematis.
Latihan secara rutin.
Soal baris dan deret memiliki pola yang berulang, jadi semakin banyak latihan, semakin cepat memahami.

Dalam ujian nasional dan ujian masuk perguruan tinggi, barisan dan deret aritmatika hampir selalu muncul karena materi ini menguji kemampuan logika berpikir terstruktur. Dengan memahami konsep, bukan sekadar menghafal rumus, siswa dapat mengerjakan soal dengan percaya diri.